Tenho experiência neste tipo de migração, especialmente migrando de cPanel para VPS.
Hoje tenho servidores na AWS e na Digital Ocean e vendo serviços de migração, então tenho bastante experiência para ajudar você.
Sobre o site não ficar indisponível...
Existem apenas 2 formas disso acontecer:
1. Migrar site por site - a forma que geralmente eu faço... e como uso um serviço chamado Cloudflare eu consigo fazer as alterações de DNS que levariam horas ou até 24h para serem efetivadas, consigo fazer instantaneamente - porém esta forma é mais cara...
2. Migrar todos sites de uma vez - forma mais barata, rápida, porém se algum site precisar de ajustes, pode ser que ele fique fora do ar.
São sites em PHP? Todos eles usam o mesmo banco de dados?
Precisaria criar 3000 banco de dados e atualizar a configuração de todos 3000 sites?
Vou dar o lance na opção 1, vamos conversar para eu ajustar o lance.